Лекция 7.

§13. Понятие аналитического продолжения.

1.Аналитическое продолжение через общую подобласть двух областей.
2. Теорема. На границе круга сходимости степенного ряда найдется хотя бы одна особая точка аналитической функции комплексной переменной - суммы ряда
3. Аналитическое продолжение через общий участок границы двух областей.

1. Аналитическое продолжение через общую подобласть двух областей.


Пусть f 1(z)C(g1 ) и g 1g2=g12 и пусть f 2(z)C(g2 ), причем f 2(z)f1(z), zg12 . Тогда f 2 (z) называется аналитическим продолжением f1 (z) на g2 через общую подобласть g 12.
В силу теоремы единственности определенной аналитической функции если аналитическое продолжение $ , то оно- единственно. При этом в g=g 1g2 $!  (единственная) аналитическая функция F(z)= C (g). F(z) называется аналитическим продолжением своего первоначального элемента f 1(z)C(g1 ) на большую область g, для которой g 1 g – подобласть.
Осуществить аналитическое продолжение можно с помощью степенных рядов. Пусть f(z) C (g) и z 0 g- правильная точка g, т.е. $  cn(z-z0)n   сходящийся к f(z) в общей части g и круга сходимости степенного ряда |z-z 0| < r (z0 ). Если r (z0 ) больше расстояния от точки z 0 до, то круг сходимости выйдет за пределы g, и мы получим F(z)- аналитическое продолжение f(z) C (g) на большую область g |z-z0|< r (z0).

2. Теорема. На границе круга сходимости степенного ряда найдется хотя бы одна особая точка аналитической функции комплексной переменной - суммы ряда.

Теорема 13.1 На границе круга сходимости степенного ряда найдется хотя бы одна особая точка аналитической функции комплексной переменной, которая (функция) является суммой ряда внутри его круга сходимости |z-z 0|<R0.
Доказательство (от противного). Предположим, что " x : | x -z0|=R0 являются правильными точками f(z)= cn(z-z0)n, f(z)C(|z-z0| <R0 ) т.е. для "x
$ r ( x )>0: cn( x )(z- x )n =f(z) в общей части |z-z 0| <R0| x -z0|< r ( x ).
Докажем, что r ( x )>0 является непрерывной функцией x на C R0 и даже
 Липшиц- непрерывной: т.е. | r ( x 1)- r ( x 2)|| x 1- x 2|.
Предположим противное. Пусть r ( x 1)> r ( x 2 ) и $ d>0 :  r ( x 1)> r ( x 2)+| x 1- x 2|+ d (*).
Это означает, что круг |z- x 2|< r ( x 2 ) лежит внутри круга |z- x 1|< r ( x 1 ). Но в общей части трех кругов |z-z0|<R0|z- x 1|< r ( x 1)|z- x 2|< r ( x 2 ) все три степенных ряда сходятся к одной и той же f(z) C(|z-z0|<R0 )  =>степенной ряд cn( x 2)(z- x 2)n может быть продолжен на большую область, т.е. он сходится в круге 
радиуса r ( x 2 ), который не меньше чем расстояние от x 2 до границы круга |z- x 1|< r ( x 1) => r ( x 2) r ( x 1)-| x 1- x 2 |, но тогда из (*) => r ( x 1)> r ( x 1)+ d и т.к. d >0 мы пришли к абсурдному заключению. Но это противоречие явилось следствием нашего предположения о том, что r ( x ) не является Липшиц- непрерывной на C R0 . Итак: | r ( x 1)- r ( x 2)|| x 1- x 2|.
Из Липшиц- непрерывности = > простая непрерывность. А т.к. непрерывная функция r ( x )>0 на замкнутом множестве | x -z0|=R0 достигает своей нижней грани, т.е. $x* :
r ( x ) r ( x * ) для "x CR0 . Но по предположению для "x CR0 r ( x )>0=> r ( x *)= r 0 >0. Из того, что r ( x ) r 0 следует, что функция f(z)= cn(z-z0)n  при | z-z0|<R0 может быть аналитически продолжена в круг |z-z 0|<R0+ r 0 , а следовательно, радиус сходимости исходного степенного ряда не R 0 , а R 0+ r 0 . Но это противоречит условиям теоремы.
К этому противоречию мы пришли, предположив, что все точки x CR0 - правильные. = > На C R0 имеется хотя бы одна точка x ** , являющаяся особой, т.е. r ( x **)=0. n
Следствие. Радиус круга сходимости определяется расстоянием от центра сходимости до ближайшей особой точки той аналитической функции, к которой сходится данный ряд.
Примеры.
1.  (-1)nz2n=(-z2)n=1/(1+z2); |z|<1.
Особые точки суммы ряда очевидно z 1,2= ± i. Отсюда понятно, почему разложение функции f(x)= 1/(1+x 2 ) в степенной ряд в окрестности точки x=0 абсолютно сходится только при -1<x<1, условно сходится при |x|= 1 и расходится при|x|>1, хотя эта функция при " x обладает непрерывными и ограниченными производными " порядка.
2.    Степенной ряд, сумма которого имеет счетное, всюду плотное множество особых точек на границе своего круга сходимости.
- сходится при |z|<1 (по формуле Коши- Адамара ).
При z=1 ряд расходится. Рассмотрим точки  , |zk,m|=1; k-фиксировано, m=0,1,2....; m=0, z k,0=1; m=2k ,  =1, при m=1,... ,2 k -1 точки делят окружность единичного радиуса на 2 k частей.

и при n k  =1=> в этих точках ряд расходится.
При kточки z k,m всюду плотно расположены на единичной окружности
Таким образом,  сумма ряда имеет счетное, всюду плотное множество особых точек на границе единичного круга = > Эту аналитическую функцию нельзя аналитически продолжить за границу единичного круга !!. (Т.к. в " z: |z|<1 радиус круга сходимости степенного ряда будет не больше расстояния до границы единичного круга. По следствию к теореме 13.1


3. Аналитическое продолжение через общий участок границы двух областей.

Теорема 13.2
Пусть fi(z)C(gi ), i=1,2 и f i(z)C(gi+ G ) и f 1| G = f2| G . Тогда F(z)= C(g=g1+g2+ G ).
Доказательство . Достаточно показать, что " z0 G является правильной точкой F(z) (кроме может быть концевых точек G ). Возьмем " z0 G и построим
C=C 1(g1)+C2(g2); Cg- кусочно- гладкие. Рассмотрим интеграл типа Коши
F (z)=C(g' g). Поскольку при z C F (z) непрерывна на C, то z 0 - правильная точка F (z).  Пусть
z 1g'1 . Тогда F (z1)=+
+ . Второе слагаемое равно 0 т.к. z 1g'1. => F (z1)=F(z1 ).
  Аналогично получим, что при z 2g'2  F (z2)=F(z2 ). По непрерывности получим, что F(z 0)= F (z0) => z0 G является правильной точкой F(z). n


Назад       Вверх       Вперед